Почему в наш век интернета нужно писать грамотно?

В первую очередь важно понимать, что наличие интернета не противопоставляется правописанию. Если бы вопрос стоял не конкретно про интернет, а именно про технологии, дескать компьютер все исправит за тебя и правильно писать необязательно, то тут уже можно поразмышлять.

В любом случае, компьютер не человек. Он с трудом сможет разобрать, что вы пытались спросить, если текст будет неграмотным. Интернет может подсказать вам как исправить слова, но все зависит от степени ошибки. Искусственный интеллект, может попросту не распознать, что за слово вы пытались написать или предложение (или даже словосочетание) будет настолько криво построено, что поисковик на ваш запрос выдаст совсем не то, что имелось в виду.

Также не стоит забывать, что если вы грамотно пишите, то вы и грамотно говорите. Возможно, интернет поможет исправить вам текст, но вот вашу речь и мысли важно грамотно составлять самостоятельно. И что делать, если понадобится что-то написать от руки? Или печатать через такой текстовый редактор, который не исправляет грамотность. Интернет это не панацея, а лишь помощь. Важно быть грамотным самому, но если сомневаешься в правильности употребления какого-то слова или выражения, можно "загуглить".